Kalkulator równań
Wybierz rodzaj równania i wpisz współczynniki prosto w równanie. Pod spodem zobaczysz rozwiązanie krok po kroku, tak jak na lekcji.
Wpisz współczynniki. Puste pole to 0. Działają też ułamki i pierwiastki, np. 1/2 albo √2.
Sprawdź zaznaczone pola: wpisz liczbę, np. −3, 2,5 albo 1/2.
Rozwiązanie
Rozwiązanie krok po kroku
Odczytaj współczynniki.
a = 2; b = −3; c = −5
Oblicz wyróżnik (deltę).
Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4 · 2 · (−5) = 9 − (−40) = 49
Δ > 0, więc równanie ma dwa rozwiązania.
√Δ = √49 = 7
Policz pierwiastki.
x₁ = −b − √Δ2a = 3 − 74 = −1
x₂ = −b + √Δ2a = 3 + 74 = 52 = 2,5
Postać iloczynowa
2(x + 1)(x − 52) = 0
Wierzchołek paraboli i postać kanoniczna
p = −b2a = 34; q = −Δ4a = −498
W = (34; −498); y = 2(x − 34)² − 498
Co potrafi kalkulator
- Równania liniowe postaci ax + b = cx + d. Rozpoznaje też równania tożsamościowe (każda liczba jest rozwiązaniem) i sprzeczne (brak rozwiązań).
- Równania kwadratowe ax² + bx + c = 0: delta, pierwiastki w dokładnej postaci, postać iloczynowa, wierzchołek paraboli i postać kanoniczna.
- Równania trzeciego stopnia ax³ + bx² + cx + d = 0: pierwiastek wymierny, schemat Hornera i pierwiastki wielokrotne.
- Układy 2 i 3 równań liniowych metodą wyznaczników (wzory Cramera).
Wzory na równanie kwadratowe
| Wyróżnik | Δ = b² − 4ac |
|---|---|
| Dwa rozwiązania (Δ > 0) | x₁ = (−b − √Δ) / 2a, x₂ = (−b + √Δ) / 2a |
| Jedno rozwiązanie (Δ = 0) | x₀ = −b / 2a |
| Wierzchołek paraboli | W = (p; q), p = −b / 2a, q = −Δ / 4a |
| Wzory Viète’a | x₁ + x₂ = −b / a, x₁ · x₂ = c / a |
Przycisk Zobacz na wykresie otwiera wykresy funkcji z Twoim równaniem: miejsca zerowe wykresu to rozwiązania równania.
Częste pytania
Jak rozwiązać równanie kwadratowe?
Policz wyróżnik Δ = b² − 4ac. Gdy Δ > 0, równanie ma dwa rozwiązania x₁ = (−b − √Δ)/2a i x₂ = (−b + √Δ)/2a. Gdy Δ = 0, ma jedno rozwiązanie x₀ = −b/2a. Gdy Δ < 0, nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.
Co zrobić, gdy Δ jest ujemna?
W szkole odpowiedź brzmi wtedy: równanie nie ma rozwiązań. Kalkulator pokazuje dodatkowo rozwiązania zespolone, przydatne na studiach i w elektrotechnice.
Jak rozwiązać równanie trzeciego stopnia?
Najpierw szuka się pierwiastka wymiernego wśród ilorazów dzielników wyrazu wolnego i współczynnika przy x³. Po podzieleniu wielomianu schematem Hornera zostaje równanie kwadratowe. Gdy pierwiastka wymiernego nie ma, kalkulator liczy rozwiązania numerycznie.
Jak rozwiązać układ równań metodą wyznaczników?
Policz wyznacznik główny W oraz wyznaczniki Wx i Wy, w których kolumnę zmiennej zastępuje się kolumną wyrazów wolnych. Gdy W ≠ 0, x = Wx/W i y = Wy/W. Gdy W = 0, układ jest nieoznaczony albo sprzeczny.
Czy mogę wpisać ułamek jako współczynnik?
Tak. Wpisz 1/2, −3/4 albo nawet √2. Gdy wszystkie współczynniki są wymierne, wynik jest podany dokładnie, np. jako ułamek albo z pierwiastkiem, a obok jako liczba dziesiętna.